Baumslag 群中的共轭问题、泛型情形复杂度与幂电路中的除法
离散数学
2016-04-25 v2 计算复杂性
群论
摘要
共轭问题属于算法群论范畴。其问题如下：给定固定群 G 的生成元上的两个词 x, y，判定 x 和 y 是否共轭，即是否存在某个 z 使得在 G 中 。一般而言，共轭问题比字问题更难。我们研究了两个著名群中共轭问题的复杂度：Baumslag-Solitar 群 BS(1,2) 和 Baumslag(-Gersten) 群 G(1,2)。BS(1,2) 中的共轭问题是 TC^0-完全的。据我们所知，BS(1,2) 是第一个被证明具有如此精确且低复杂度的自然无限非交换群。Baumslag 群 G(1,2) 是 BS(1,2) 的一个 HNN-扩张。我们证明了共轭问题是可判定的（此前已知）；但我们的结果远超可判定性范畴。特别是，我们能够证明在强泛型设定下，G(1,2) 中的共轭问题可在多项式时间内求解。这意味着对于几乎所有输入，G(1,2) 中的共轭性均可高效判定。相比之下，我们表明在一个合理的假设下，同一问题的平均情形复杂度是非初等的。此外，通过将幂电路中的除法问题归约到 G(1,2) 中的共轭问题，我们为 G(1,2) 中的共轭问题提供了一个下界。幂电路中除法问题的复杂度是整数算术中一个开放且有趣的问题。
引用
@article{arxiv.1309.5314,
title = {Conjugacy in Baumslag's group, generic case complexity, and division in power circuits},
author = {Volker Diekert and Alexei Miasnikov and Armin Weiß},
journal= {arXiv preprint arXiv:1309.5314},
year = {2016}
}
备注
Section 5 added: We show that an HNN extension G = < H, b | bab^-1 = {\phi}(a), a \in A > has a non-amenable Schreier graph with respect to the base group H if and only if A \neq H \neq B