相对 holomorph 同构与矩阵相似性

设 $V$ 为域 $\mathbb{F}_p$ 上维数为有限的向量空间，其中 $p$ 为素数。给定任意 $\alpha,\beta\in \mathrm{GL}(V)$，我们考虑半直积积 $V\rtimes\langle \alpha\rangle$ 和 $V\rtimes\langle \beta\rangle$，并证明若 $V\rtimes\langle \alpha\rangle$ 与 $V\rtimes\langle \beta\rangle$ 同构，则 $\alpha$ 必须类似于生成相同子群的 $\beta$ 的某个幂；即若 $H$ 和 $K$ 为 $\mathrm{GL}(V)$ 中的循环子群，且 $V\rtimes H\cong V\rtimes K$，则 $H$ 和 $K$ 必须是 $\mathrm{GL}(V)$ 中的共轭子群。若去除循环条件，存在非同构的例子（更不用说非共轭的子群）$H$ 和 $K$ 使得 $V\rtimes H\cong V\rtimes K$。即使要求非循环子群 $H$ 和 $K$ 为可交换群，仍可能出现 $V\rtimes H\cong V\rtimes K$ 且 $H$ 和 $K$ 在 $\mathrm{GL}(V)$ 中非共轭的情况，但此时 $H$ 和 $K$ 至少必须是同构的。若将 $V$ 换为在 ${\mathbf Z}/p^m{\mathbf Z}$ 上有限秩自由模 $U$（其中 $m>1$），则可能出现 $U\rtimes H\cong U\rtimes K$ 且 $H$ 和 $K$ 为 $\mathrm{GL}(U)$ 中的非共轭循环子群的情况。若彻底放弃对 $V$ 的要求，给出若干有限群 $G$ 容纳非共轭循环子群 $H$ 和 $K$ 使得 $G\rtimes H\cong G\rtimes K$ 的充分条件。这一条件被许多群满足。