超空间协变环的Hilbert级数

令$\Omega_n$为复$n$空间上取值为多项式的全纯微分形式环，在物理学中称为秩$n$的超空间环。对称群$\mathfrak{S}_n$通过同时置换交换与非交换生成元对角作用于$\Omega_n$。令$SI_n \subseteq \Omega_n$为由具有零常数项的$\mathfrak{S}_n$-不变量生成的理想，并研究超空间对该理想的商$SR_n = \Omega_n / SI_n$。我们计算了$SR_n$的双重分次Hilbert级数，并证明了一个“算子定理”，该定理借助Vandermonde行列式及某些微分算子刻画了附着于$SR_n$的调和空间$SH_n \subseteq \Omega_n$。我们的方法运用了在Hessenberg簇研究中使用的交换代数结果。我们的结果证明了N. Bergeron、Li、Machacek、Sulzgruber、Swanson、Wallach和Zabrocki的猜想。