Fields 猜想的证明

秩为 $n$ 的 {\em 超空间环} 是仿射 $n$ 空间上的微分形式代数 $\Omega_n$。代数 $\Omega_n$ 关于多项式度数和外度数是双分次的，并且带有对称群 $\mathfrak{S}_n$ 的自然作用。通过模去具有零常数项的 $\mathfrak{S}_n$ 不变量，得到 {\em 超空间余不变环} $SR_n$。我们证明，作为一个非分次的 $\mathfrak{S}_n$-模，空间 $SR_n$ 同构于 $\mathfrak{S}_n$ 在 $\{1,\dots,n\}$ 的有序集合划分上的符号扭转置换作用。我们通过计算 $SR_n$ 的双分次 $\mathfrak{S}_n$ 同构类型来细化这一结果。这证明了 N. Bergeron、L. Colmenarejo、S.-X. Li、J. Machacek、R. Sulzgruber 和 M. Zabrocki 的 Fields 猜想，以及 V. Reiner 的一个相关猜想。