小群在二维 Artin-Schelter 正则代数上的作用

在交换不变理论中,由 Auslander 给出的一个经典结果表明:若 $R = \Bbbk[x_1, \dots, x_n]$ 且 $G$ 是 $\text{Aut}_{\text{gr}}(R) \cong \text{GL}(n,\Bbbk)$ 的一个不含反射的有限子群,则存在自然的分次同构 $R \hspace{1pt} \# \hspace{1pt} G \cong \text{End}_{R^G}(R)$。在本文中,我们证明若将 $R$ 替换为全局维数为 2 的 Artin-Schelter 正则代数 $A$,并将 $G$ 替换为 $\text{Aut}_{\text{gr}}(A)$ 的一个不含拟反射的有限子群,则 Auslander 定理的一个版本成立。这推广了 Chan-Kirkman-Walton-Zhang 的工作。作为证明的一部分,我们对所有这样的对 $(A,G)$ 进行了分类,分类在 $G$ 被 $\text{Aut}_{\text{gr}}(A)$ 中元素共轭的意义下。除一种情形外,我们还写下了不变环 $A^G$ 的显式表示,并证明它们同构于 AS 正则代数的因子。