常数二次扩张上的 $\ell$-奇偶性猜想

对于素数 $\ell$ 和全局域 $K$ 上的阿贝尔簇 $A$，$\ell$-奇偶性猜想预测，根据 Birch 和 Swinnerton-Dyer 的思想，$\ell^{\infty}$-Selmer 群的 $\mathbb{Z}_{\ell}$-余秩与解析秩在模 2 意义下一致。假设 $\mathrm{char} K > 0$，我们证明了若 $\ell$ 为奇数、与 $\mathrm{char} K$ 互素且不整除 $A$ 的每个极化的次数，则 $A$ 到常数二次扩张的基变换满足 $\ell$-奇偶性猜想。证明中涉及的技术包括 Selmer 群的 \'{e}tale 上同调解释、Grothendieck-Ogg-Shafarevich 公式，以及对非分歧扩张中局部根号行为的研究。