Starr猜想的证明：关于随机 commuting permutation的对数凹性

我们证明了Shannon Starr关于具有给定联合轨道数的 commuting permutation 元组数量的渐近行为的猜想。这些数字是无符号 Stirling 第一类数的推广，后者计数具有给定循环数目的所有单一 permutation。对于 two permutation 的情况，这些数字与 D'Arcais 多项式和 Nekrasov-Okounkov 公式相关。通过上述渐近行为，我们确认了在联合轨道数典型值范畴内的对数凹性猜想。由于此类多重级数或多变量 Ramanujan 和与 power law 的 Dirichlet 卷积的普通生成函数相关的级数的在应用数学和数学物理中可能独立的兴趣，我们也提供了详细的渐近分析，利用 Mellin 变换技术。除了这些多重级数的渐近分析外，我们的证明使用与 Meinardus 定理相关的双变量 saddle point 分析，针对所关联 Dirichlet 系列中精细的多个极点情形。