关于排列最长递增子序列的对数凹性与 q-对数凸性猜想

令 $P_{n,k}$ 为集合 [n]={1, 2,..., n} 上最长递增子序列长度等于 $k$ 的排列 $\pi$ 的个数，令 $M_{2n, k}$ 为集合 [2n] 上交叉数为 $k$ 的匹配个数。定义 $P_n(x)= \sum_k P_{n,k}x^k$ 和 $M_{2n}(x)=\sum_{k} M_{2n,k}x^k$。我们提出了关于多项式 $P_n(x)$ 和 $M_{2n}(x)$ 的对数凹性与 q-对数凸性的一些猜想。我们还引入了 $\infty$-q-对数凸性和 $\infty$-q-对数凹性的概念，以及关于 $\infty$-q-对数凸或 $\infty$-q-对数凹的高阶对数凹性概念。文中提出了关于 Boros-Moll 多项式 $\infty$-q-对数凸性的一个猜想。似乎 $M_{2n}(x)$ 关于 $\infty$-q-对数凸性是任意阶对数凹的。