Mallows置换最长公共子序列长度的极限定理

Mallows测度是Mallows为统计中的排序问题引入的一种置换上的测度。在该测度下，置换$\pi$的概率正比于$q^{Inv(\pi)}$，其中$q$为正参数，$Inv(\pi)$为$\pi$中的逆序数。我们考虑对某个$q,q'>0$，按$\mu_{n,q}$与$\mu_{n,q'}$独立抽取的两条置换的最长公共子序列（LCS）的长度。我们证明当$0<q,q'<1$时，LCS的极限分布为高斯分布。在$n(1-q) \to \infty$且$n(1-q') \to \infty$的 regime 下，我们给出了LCS的弱大数定律。这些结果推广了\cite{Basu}与\cite{Naya}的成果，后者给出了最长递增子序列分布的弱定律与极限定律，本文将其推广至最长公共子序列的相应结果。