$S_n$ 上 Mallows 模型的热力学极限

$S_n$ 上的 Mallows 模型是排列上的概率分布，$q^{d(\pi,e)}/P_n(q)$，其中 $d(\pi,e)$ 是相对于 Coxeter 生成元的 $\pi$ 与单位元之间的距离。等价地，它是逆序数：满足 $1\leq i<j\leq n$ 但 $\pi_i>\pi_j$ 的数对 $(i,j)$。通过分析归一化常数 $P_n(q)$，Diaconis 和 Ram 计算了 Mallows 模型中 $d(\pi,e)$ 的均值和方差，这表明当 $n \to \infty$ 时，合适的极限要求 $q_n$ 按 $1-\beta/n$ 缩放。我们计算了该极限下经验测度的分布，$u(x,y) dx dy = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \delta_{(i,\pi_i)}$。将其视为平均场问题，类似于 Curie-Weiss 模型，自洽平均场方程为 $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \ln u(x,y) = 2 \beta u(x,y)$，这是一个可积 PDE，称为双曲 Liouville 方程。显式解还给出了弱不对称排斥过程中阻塞测度公式的新证明，以及 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}_2)$-对称 XXZ 铁磁体的基态。