最长公共子序列的大规模模拟：有限尺度缩放、腔解与配置空间性质

最长公共子序列（LCS）问题要求在两个给定字符序列中找到最长的（非连续）匹配子序列。通过大规模蒙特卡罗模拟，我们发现 LCS 长度的均值随字符串大小 $N$ 的缩放律形式为 $E(L)/N =C + A/(N^{1/2} \ln N)+\ldots$，其中 $S$ 为字母表大小。我们给出了 $C$ 在 $S$ 取 2 到 15 之间的数值估计。我们还考虑了一个相关的伯努利匹配模型，其中 $N \times M$ 数组的不同条目以概率 $1/S$ 独立占据。在这种情况下，我们发现 $L(N,M)/N$ 的极限作为 $N$ 无限大时，以 $r=M/N$ 为变量的函数形式。该表达式为随机字符串模型提供了非常好的近似，随着 $S$ 的增大，精度日益提升。还讨论了 LCS 问题“普适类”的问题。对于伯努利匹配模型，我们发现其与 Hwa 和 Lassig 针对 Needleman-Wunsch 序列比对的最新缩放预测一致。然而我们发现 LCS 长度的方差在随机字符串模型中具有不同的缩放，表明匹配之间的长程关联在该模型中是相关的。我们最终研究了该问题的“基态”性质。特别是我们发现解的数量通常随 $N$ 的指数增长，即该系统在 $T=0$ 时具有残余熵。另外，我们发现两个随机选择的 LCS 之间的重叠是自平均的，并且随 $N$ 的增大趋于一个确定值 $q(S)<1$。