具有 $L^1$ 与 $L^2$ 距离的 Mallows 置换模型 I：hit and run 算法与混合时间

Mallows 置换模型由 Mallows 在统计排序理论中引入，是对称群 $S_n$ 上一类非均匀概率测度。该模型依赖于 $S_n$ 上的距离度量 $d(\sigma,\tau)$，其可从众多置换度量中选取。在本文中，我们关注分别统计文献中称为 Spearman 脚规与 Spearman 秩相关的 $L^1$ 与 $L^2$ 距离的 Mallows 置换模型。与文献中分析的大多数随机置换模型不同，具有 $L^1$ 与 $L^2$ 距离的 Mallows 置换模型对其归一化常数没有显式表达式。这给从这些 Mallows 模型中进行采样带来了挑战。在本文中，我们考虑用于从两种模型采样的 hit and run 算法。hit and run 算法是马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法的一类统一框架，包含著名的 Swendsen-Wang 与数据增广算法。对两种模型，我们均给出了 hit and run 算法的 $\log{n}$ 阶混合时间上界。这表明与 Metropolis 算法等局部 MCMC 算法相比，hit and run 算法混合快得多。混合时间结果的证明基于路径耦合技术，其中涉及针对具有单侧限制的置换的一种新颖耦合。还讨论了 hit and run 算法向上述模型的加权版本、涉及 $L^1$ 距离与 Cayley 距离的双参数置换模型以及维数大于等于 $2$ 的格点置换模型的推广。$\log{n}$ 阶混合时间上界适用于该双参数置换模型。