接近 $(1-z)^{-1}$ 的无穷级数的幂中的对数凹性

本文利用 Odlyzko 和 Richmond 的解析方法研究幂级数的对数凹性。若 $f(z) = \sum_n a_nz^n$ 是一个满足 $a_n \geq 1$ 且对所有 $n$ 有 $a_0 + \cdots + a_n = O(n + 1)$ 的无穷级数，我们证明 $f^k(z)$ 有一段超多项式长的初始段是对数凹的。进一步，若存在常数 $C > 1$ 和 $\alpha < 1$ 使得 $a_0 + \cdots + a_n = C(n + 1) - R_n$，其中 $0 \leq R_n \leq O((n + 1)^{\alpha})$，我们证明 $f^k(z)$ 有一段指数级长的初始段是对数凹的。这解决了 Letong Hong 与作者提出的一个猜想，该猜想蕴含 Heim 和 Neuhauser 的另一个猜想，即 Nekrasov-Okounkov 多项式 $Q_n(z)$ 对充分大的 $n$ 是单峰的。