Rothschild与van Lint定理的一个推广

Rothschild和van Lint的一个经典结论断言:若布尔函数$f$在$\mathbb{F}_2^{n}$上的每个非零傅里叶系数具有相同绝对值,即对于$f$的傅里叶支撑中每个$\alpha$有$|\hat{f}(\alpha)|=1/2^k$,则$f$必为某维数为$n-k$的仿射子空间的指示函数。本文对其结果作了轻微推广。我们的主要结果表明,粗略而言,傅里叶系数取值于集合$\{-2/2^k, -1/2^k, 0, 1/2^k, 2/2^k\}$的布尔函数是维数为$n-k$的两个不相交仿射子空间或维数为$n-k-1$的四个不相交仿射子空间的指示函数。我们的主要技术工具来自加性组合学的结果,其在子集加倍常数较小时为该子集的仿射张成大小提供了紧界。