Bohr--Pál 定理与 Sobolev 空间 $W_2^{1/2}$

著名的 Bohr--Pál 定理断言，对于圆周 $\mathbb T$ 上的每个连续实值函数 $f$，都存在一个变量代换，即 $\mathbb T$ 到其自身的同胚 $h$，使得叠加 $f\circ h$ 的 Fourier 级数一致收敛。该结果的后续改进表明，实际上存在一个同胚可将 $f$ 映入 Sobolev 空间 $W_2^{1/2}(\mathbb T)$。Bohr--Pál 定理的这一精化版本不能推广到复值函数。我们证明，若 $\alpha<1/2$，则存在一个复值 $f$ 满足 $\alpha$ 阶 Lipschitz 条件，同时具有如下性质：对于 $\mathbb T$ 的每个同胚 $h$，$f\circ h\notin W_2^{1/2}(\mathbb T)$。