关于N.V. Efimov发现的同胚微分检验

1968年，N.V. Efimov证明了以下著名定理：\textit{设$f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\in C^1$满足对所有$x\in\mathbb R^2$有$\det f'(x)<0$，且存在函数$a=a(x)>0$和常数$C_1\geqslant 0$、$C_2\geqslant 0$，使得对所有$x, y\in\mathbb R^2$，不等式$|1/a(x)-1/a(y)|\leqslant C_1 |x-y|+C_2$和$|\det f'(x)|\geqslant a(x)|{\rm curl\,}f(x)|+a^2(x)$成立。则$f(\mathbb R^2)$是一个凸区域，且$f$将$\mathbb R^2$同胚地映到$f(\mathbb R^2)$上。} 这里${\rm curl\,}f(x)$表示$f$在$x\in\mathbb R^2$处的旋度。本文综述了该定理的类似结果、推广及其在曲面论、函数论以及雅可比猜想和动力系统全局渐近稳定性研究中的应用。