关于Efimov同胚微分判别法

1968年,N.\,V.~Efimov证明了如下著名定理:\textit{设 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\in C^1$ 满足对所有 $x\in\mathbb{R}^2$ 有 $\det f'(x)<0$,且存在函数 $a(x)>0$ 与常数 $C_1\geqslant 0$、$C_2\geqslant 0$,使得对所有 $x, y\in\mathbb{R}^2$ 成立不等式 $|1/a(x)-1/a(y)|\leqslant C_1 |x-y|+C_2$ 与 $|\det f'(x)|\geqslant a(x)|\operatorname{curl}f(x)|+a^2(x)$。则 $f(\mathbb{R}^2)$ 为凸域,且 $f$ 将 $\mathbb{R}^2$ 同胚地映到 $f(\mathbb{R}^2)$ 上。} 此处 $\operatorname{curl}f(x)$ 表示 $f$ 在 $x\in\mathbb{R}^2$ 处的旋度。本文综述了该定理的类似结果、推广及其在曲面理论、全局反函数理论以及Jacobian猜想与动力系统全局渐近稳定性研究中的应用。