二维雅可比猜想的一个特例

设 $f: \mathbb{C}[x,y] \to \mathbb{C}[x,y]$ 是一个具有可逆雅可比矩阵的 $\mathbb{C}$-代数自同态。我们证明对于这样的 $f$，如果此外 $\mathbb{C}[f(x),f(y),x][1/v] \subset \mathbb{C}(x,y)$ 的可逆元素群包含于 $\mathbb{C}(f(x),f(y))-0$ 中，则 $f$ 是一个自同构。这里 $v \in \mathbb{C}[f(x),f(y)]-0$ 满足 $y = u/v$，其中 $u \in \mathbb{C}[f(x),f(y),x]-0$。Keller 定理（二维情形）立即得出，因为 Keller 条件 $\mathbb{C}(f(x),f(y))=\mathbb{C}(x,y)$ 蕴含 $\mathbb{C}[f(x),f(y),x][1/v]$ 的可逆元素群包含于 $\mathbb{C}(x,y)-0 = \mathbb{C}(f(x),f(y))-0$ 中。