高误差机制下 $\mathbb{F}_p^n$ 上仿射不变性质的相关性测试

近年来，从理论计算机科学的角度来看，人们对 Gowers 一致性范数产生了浓厚的兴趣。这主要归因于这些范数提供了一种方法，用于测试函数 $f:\mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$ 与次数至多为 $d \le p$ 的多项式的最大相关性是否不可忽略，同时仅需对该函数进行常数次查询。这是{\em 相关性测试}的一个实例。在此框架下，对一个函数应用一个固定的测试，测试的接受概率取决于该函数与性质的相关性。这是{\em 邻近不经意测试}（由 Goldreich 和 Ron 提出的概念）在高误差机制下的类似物。在这项工作中，我们研究了一般的仿射不变性质，这些性质可以使用常数次查询进行相关性测试。我们证明，任何这样的性质（只要域的大小不是太小）实际上都可以通过 Gowers 一致性测试来测试，因此，与性质具有相关性等价于与某个固定次数 d 的多项式具有相关性。我们强调，我们的结果也适用于仿射不变的非线性性质。这完全分类了可进行相关性测试的仿射不变性质。证明基于高阶傅里叶分析。另一个要素是将 Erdős、Lovász 和 Spencer 的一个图论定理非平凡地推广到加法数论的语境中。