通过分解定理刻画局部可测的仿射不变性质

设 $\mathcal{P}$ 为固定素数 $p$ 下函数 $\mathbb{F}_p^n \to \{0,1\}$ 的一个性质。若一个算法在给定输入函数 $f$ 的查询访问权限时，能以高概率在 $f$ 满足 $\mathcal{P}$ 时接受，而在 $f$ 与满足 $\mathcal{P}$“相距甚远”时拒绝，则称该算法为 $\mathcal{P}$ 的测试器 (tester)。本文刻画了那些可用常数次查询进行（双边误差）测试的仿射不变性质。该刻画基于分解定理表述，这些定理大致断言任何函数均可分解为一个结构化部分和一个伪随机部分，其中结构化部分是常数个多项式的函数，而伪随机部分的 Gowers 范数很小。我们首先给出了一种算法，用于测试输入函数的结构化部分是否具有特定形式。随后我们证明，一个仿射不变性质可用常数次查询进行测试，当且仅当它可以归约为测试输入函数的结构化部分是否接近于常数个候选者之一的问题。