论结构定理与非饱和例子

对任意极小系统 $(X,T)$ 和 $d\geq 1$，存在一个相伴的极小系统 $(N_{d}(X), \mathcal{G}_{d}(T))$，其中 $\mathcal{G}_{d}(T)$ 是由 $T\times\cdots\times T$ 和 $T\times T^2\times\cdots\times T^{d}$ 生成的群，$N_{d}(X)$ 是对角线在 $\mathcal{G}_{d}(T)$ 作用下的轨道闭包。已知 $N_d(X)$ 的极大 $d$ 步 pro-nilfactor 为 $N_d(X_d)$，其中 $X_d$ 是 $X$ 的极大 $d$ 步 pro-nilfactor。本文进一步研究 $N_d(X)$ 的结构。我们证明 $N_d(X)$ 的极大 distal 因子为 $N_d(X_{dis})$，其中 $X_{dis}$ 是 $X$ 的极大 distal 因子，并证明作为极小系统 $(N_{d}(X), \mathcal{G}_{d}(T))$ 与 $(X,T)$ 具有相同结构定理。此外，构造了一个非饱和度量例子 $(X,T)$，它不 $T\times T^2$-饱和且是一个 Toeplitz 极小系统。