二维完全可分解度量的最优实现

有限集合$X$上度量$d$的一个实现是一个加权图$(G,w)$，其顶点集包含$X$，使得$X$中元素作为$G$中顶点之间的最短路径距离等于$d$。如果该实现$(G,w)$的边权之和在所有此类实现中最小，则称为最优实现。最优实现总是存在的，尽管计算它们通常是NP难的，并且在系统发育学、电网和互联网层析成像等领域有应用。在[Adv. in Math. 53, 1984, 321-402]中，A. Dress证明了度量$d$的最优实现与其紧跨（一个可与$d$典范关联的特定多面体复形）密切相关。此外，他猜想由$d$的紧跨的零维和一维面组成的（加权）图必定包含一个最优实现作为其同胚子图。本文证明，对于一类特定的度量，即紧跨维数为二的完全可分解度量，该猜想确实成立。作为推论，最小曼哈顿网络问题可视为寻找二维完全可分解度量最优实现的一个特例。