加权图的度量化

我们找到了一组充分必要条件，在此条件下，图 $G=(V,E)$ 上的权重 $w:E\to\mathbb R^+$ 可以扩展为一个伪度量 $d:V\times V\to\mathbb R^+$。如果这些条件成立且 $G$ 是连通图，则所有此类扩展的集合 $\mathfrak M_w$ 非空，且最短路径伪度量 $d_w$ 在偏序关系 $d_1 \leqslant d_2$ 当且仅当对所有 $u,v\in V$ 有 $d_1(u,v) \leqslant d_2(u,v)$ 下是 $\mathfrak M_w$ 中的最大元。研究表明，每个非空偏序集 $(\mathfrak M_w,\leqslant)$ 包含最小元 $\rho_{0,w}$ 当且仅当 $G$ 是一个完全 $k$-部图且 $k\geqslant 2$，在此情况下，我们得到了计算 $\rho_{0,w}$ 的显式公式。