关于图的半真定向

给定图 $G$ 的一个{\it 半真定向}是一个函数 $(D,w)$，它为每条边 $e$ 分配一个定向 $D(e)$ 和一个正整数权值 $w(e)$，使得对任意两个相邻顶点 $v$ 和 $u$，有 $S_{(D,w)}(v) \neq S_{(D,w)}(u)$，其中 $S_{(D,w)}(v)$ 是 $D$ 中以 $v$ 为头的边的权值之和。图 $G$ 的{\it 半真定向数}，记为 $\overrightarrow{\chi}_s (G)$，是 $\min_{(D,w)\in \Gamma} \max_{v\in V(G)} S_{(D,w)}(v)$，其中 $\Gamma$ 是 $G$ 的所有半真定向的集合。{\it 最优半真定向}是一个半真定向 $(D,w)$，满足 $\max_{v\in V(G)} S_{(D,w)}(v)= \overrightarrow{\chi}_s (G)$。在本工作中，我们证明每个图 $G$ 都有一个最优半真定向 $(D,w)$，使得每条边的权值为 1 或 2。接下来，我们证明判定给定平面图 $G$（满足 $\overrightarrow{\chi}_s (G)=2$）是否存在权值均为 1 的最优半真定向 $(D,w)$ 是 NP-完全的。最后，我们证明确定平面二部图的半真定向数问题是 NP-困难的。