加权着色的对偶参数化

给定图$G$,$G$的恰当$k$-着色是将$V(G)$划分为$k$个稳定集$S_1,\ldots, S_{k}$的划分$c = (S_i)_{i\in [1,k]}$。给定权函数$w: V(G) \to \mathbb{R}^+$,颜色$S_i$的权定义为$w(i) = \max_{v \in S_i} w(v)$,着色$c$的权定义为$w(c) = \sum_{i=1}^{k}w(i)$。Guan与Zhu [Inf. Process. Lett., 1997]将配对$(G,w)$的加权色数定义为$\sigma(G,w)$,即$G$的恰当着色的最小权。确定$\sigma(G,w)$的问题近年来受到相当关注,且已被证明极其困难:例如,在分裂图上为NP-hard,在$n$顶点树上不能在$n^{o(\log n)}$时间内求解(除非ETH不成立),并且在以最大树的大小为参数时在森林上为W[1]-hard。本文通过考虑其所谓对偶参数化给出该问题的一些正面结果:给定顶点加权图$(G,w)$与整数$k$,问题是$\sigma(G,w) \leq \sum_{v \in V(G)} w(v) - k$是否成立。我们证明该问题是FPT的,给出了运行时间为$9^k \cdot n^{O(1)}$的算法,并且容易看出在ETH下不存在运行时间为$2^{o(k)} \cdot n^{O(1)}$的算法。另一方面,我们给出了至多$(2^{k-1}+1) (k-1)$个顶点的核,并且排除了多项式核的存在性,除非${\sf NP} \subseteq {\sf coNP} / {\sf poly}$,即使在仅有两个不同权重的分裂图上亦如此。最后,我们识别出一些承认多项式核的图类,特别是区间图与分裂图的子类,并且在后一种情形中给出了多项式次数的下界。