负载着色问题的参数化算法

负载着色问题 (LCP) 的一种表述如下：设 $G=(V,E)$ 为图，$f:V\rightarrow \{{\rm red}, {\rm blue}\}$ 为一种 2-着色。若边 $e\in E$ 的两个端点均为红色（蓝色），则称该边为红色（蓝色）边。对于 2-着色 $f$，令 $r'_f$ 和 $b'_f$ 分别为红色边和蓝色边的数量，并令 $\mu_f(G)=\min\{r'_f,b'_f\}$。令 $\mu(G)$ 为所有 2-着色中 $\mu_f(G)$ 的最大值。我们引入参数化问题 $k$-LCP，即判定是否 $\mu(G)\ge k$，其中 $k$ 为参数。我们证明该问题存在一个规模至多为 $7k$ 的核 (kernel)。Ahuja 等人 (2007) 证明了可以在多项式时间内找到树上的最优 2-着色。我们将此结果推广，证明了对于树宽 (treewidth) 为 $t$ 的图，可以在 $O^*(2^t)$ 时间内找到最优 2-着色。我们还证明了要么 $G$ 是 $k$-LCP 的 Yes-实例，要么 $G$ 的树宽至多为 $2k$。因此，$k$-LCP 可以在 $O^*(4^k)$ 时间内求解。