排除森林上加权着色问题的 FPT 算法

给定图 $G$，$G$ 的一个正常 $k$-着色是将 $V(G)$ 划分为 $k$ 个稳定集 $S_1,\ldots, S_{k}$ 的分割 $c = (S_i)_{i\in [1,k]}$。给定权重函数 $w: V(G) \to \mathbb{R}^+$，颜色 $S_i$ 的权重定义为 $w(i) = \max_{v \in S_i} w(v)$，着色 $c$ 的权重定义为 $w(c) = \sum_{i=1}^{k}w(i)$。Guan 和 Zhu [Inf. Process. Lett., 1997] 将二元组 $(G,w)$ 的加权色数（记为 $\sigma(G,w)$）定义为 $G$ 的正常着色的最小权重。对于正整数 $r$，他们还将 $\sigma(G,w;r)$ 定义为 $G$ 的所有正常 $r$-着色 $c$ 中 $w(c)$ 的最小值。当 $G$ 为树时，确定 $\sigma(G,w)$ 的复杂度问题悬置了近 20 年，直到 Ara\'ujo 等人 [SIAM J. Discrete Math., 2014] 最近证明，除非指数时间假设（ETH）失败，否则该问题在 $n$ 顶点树上无法在 $n^{o(\log n)}$ 时间内求解。本文的目的是在比 ETH 更弱的复杂性假设下，提供计算 $G$ 为树或森林时 $\sigma(G,w)$ 和 $\sigma(G,w;r)$ 的硬度结果。即，我们从参数化复杂度的角度研究该问题，并采用更弱的假设 $FPT \neq W[1]$。基于 Ara\'ujo 等人的技术，我们证明了当 $G$ 为森林时，以 $G$ 的最大连通分支大小为参数，计算 $\sigma(G,w)$ 是 $W[1]$-难的；而以 $r$ 为参数，计算 $\sigma(G,w;r)$ 是 $W[2]$-难的。我们的结果排除了在许多自然参数选择下，存在用于计算树或森林上这些不变量的 FPT 算法的可能性。