平面（带符号）图的分数平衡色数与分数园苞数

带符号图 $(G, {\sigma})$ 的分数着色是将非负权重分配给平衡集合（即不诱导负环的集合）的过程，使得每个顶点拥有至少 1 的累计权重。在所有此类着色中，最小总权重定义为分数平衡色数，记为 $\chi-{fb}(G, {\sigma})$。该值显然被 $G$ 的分数园苞数 $a_f (G)$ 上界，其中权重分配给诱导无环的集合，而非诱导无负环的集合。在本文中，我们提出了一个平面带符号简单图，其分数平衡色数大于 2 的示例，从而特别驳斥了 Bonamy、Kardos、Kelly 和 Postle 关于平面图分数园苞数上限为 2 的猜想。通过迭代构造，我们展示了平面带符号简单图分数平衡色数上确界至少为 $83/41 = 2 + 1/41$。以类似操作，我们构建了一个平面图序列，其分数园苞数的极限为 $a_f (G) = 2 + 2/25$。