图的分式共色数

图 $G$ 的共色数 $Z(G)$ 是为 $G$ 的顶点着色所需的最少颜色数，使得每个颜色类是一个团或独立集。在 $G$ 的分式共色中，为每个团和独立集赋予非负权重，使得对每个顶点 $v$，包含 $v$ 的所有团和独立集的权重之和至少为 1。$G$ 的此类分式共色的最小总权重即为分式共色数 $Z_f(G)$。本文我们证明关于分式共色数 $Z_f(G)$ 的结果，这些结果平行于关于 $Z(G)$ 及被广泛研究的分式色数 $\chi_f{(G)}$ 的结果。例如，当 $G$ 是无三角形的图时 $Z_f(G)=\chi_f(G)$，除非 $G$ 的唯一非平凡连通分支是一颗星。更一般地，若 $G$ 不含 $k$-团，则 $Z_f(G)\le \chi_f(G)\le Z_f(G)+R(k,k)$。此外，每个满足 $\chi_f(G)=m$ 的图 $G$ 包含一个子图 $H$ 使得 $Z_f(H)\ge (\frac 14 - o(1))\frac m{\log_2 m}$。我们还证明，在所有阶为 $n$ 的图 $G$ 上 $Z_f(G)$ 的最大值为 $\Theta (n/\log n)$，而在所有可嵌入亏格为 $g$ 的可定向曲面的图上其最大值为 $\Theta(\sqrt g / \log g)$。