无大团的偏 t-树的分数染色

Dvořák 和 Kawarabayashi [European Journal of Combinatorics, 2017] 提出了如下问题：树宽为 $t$ 且不含 $K_r$ 子图的图所能达到的最大色数是多少？本文考虑该问题的分数版本。我们证明，若图 $G$ 的树宽为 $t$ 且团数满足 $2 \leq \omega \leq t$，则 $\chi_f(G) \leq t + \frac{\omega - 1}{t}$，并证明该上界在 $\omega = t$ 时是紧的。我们还证明，对每个满足 $0 < c < \frac{1}{2}$ 的值，存在一个具有大树宽 $t$ 和团数 $\omega = \lfloor (1 - c)t \rfloor$ 的图 $G$，满足 $\chi_f(G) \geq t + 1 + \frac{1}{2}\log(1-2c) + o(1)$，该下界对于较小的 $c$ 值近似等于上界。