高维最小曼哈顿网络的近似

我们研究最小曼哈顿网络问题，其定义如下：给定 $\R^d$ 中一组称为端点的点，寻找一个长度最小的网络，使得每对端点之间由一组轴平行线段连接，且这些线段的总长度等于该对端点的曼哈顿（即 $L_1$）距离。该问题在二维是NP难的，在三维不存在多项式时间近似方案（除非 ${\cal P}={\cal NP}$）。已知二维的近似算法，但三维没有。对于任意固定维度 $d$ 和任意 $\eps>0$，我们给出一个 $O(n^\eps)$ 近似算法。对于三维，我们还针对端点包含在 $k \ge 2$ 个平行平面并集中的情况，给出了一个 $4(k-1)$ 近似算法。