幂零群作用的多重遍历平均的拓扑对应

设$(X,\Gamma)$为一个拓扑系统，其中$\Gamma$是由$T_1,\ldots, T_d$生成的幂零群，使得对每个$T\in \Gamma$，$T\neq e_\Gamma$，$(X,T)$是弱混合且极小的。对$d,k\in \mathbb{N}$，令$p_{i,j}(n), 1\le i\le k, 1\le j\le d$为取整数值的有理系数多项式，且$p_{i,j}(0)=0$。我们证明，若对$i=1,2,\cdots,k$，表达式$g_i(n)=T_1^{p_{i,1}(n)}\cdots T_d^{p_{i,d}(n)}$非平凡地依赖于$n$，且对所有$i\neq j\in \{1,2,\ldots,k\}$，表达式$g_i(n)g_j(n)^{-1}$非平凡地依赖于$n$，则存在$X$的一个剩余集$X_0$，使得对所有$x\in X_0$，\begin{equation*} \{(g_1(n)x, g_2(n)x,\ldots, g_k(n)x)\in X^k:n\in \mathbb{Z}\} \end{equation*}在$X^k$中稠密。