指数矩阵、$\mathbb{G}_a$-作用于射影空间及 elementary abelian $p$-群的模表示

设 $k$ 为特征数为 $p$ 的代数闭域，记 $\mathbb{G}_a$ 为 $k$ 的加法群。设 $n \geq 1$，记 ${\rm Mat}(n, k[T])^E$ 为 ${\rm Mat}(n, k[T])$ 中所有指数矩阵的集合。记 $\mathbb{E}_{\geq 0}(n, k)$ 为从 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$ 到 ${\rm GL}(n, k)$ 的所有群同态映射的集合，其中 $r$ 范围在所有非负整数上。在第一部分，我们证明了集合 ${\rm Mat}(n, k[T])^E$ 与 $\mathbb{P}^{n - 1}$ 上所有 $\mathbb{G}_a$-作用的集合之间存在一一对应关系。在第二部分，我们证明了 $\mathbb{E}_{\geq 0}(n, k)$ 与 ${\rm Mat}(n, k[T])^E \times \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 之间存在一一对应关系。