平铺序指数矩阵的极大-加法代数

指数矩阵是一个 $n\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$，其元素属于 ${\mathbb N}^0$，满足 (1) 对所有 $i=1,\ldots, n$ 有 $a_{ii}=0$，以及 (2) 对所有两两不同的 $i,j,k\in\{1,\dots, n\}$ 有 $a_{ij}+a_{jk}\geq a_{ik}$。在本文中，我们研究所有非负 $n\times n$ 指数矩阵的集合 ${\mathcal E}_n$ 作为一个代数，其运算 $\oplus$ 为分量方式取最大值，$\odot$ 为分量方式相加。我们给出了代数 $({\mathcal E}_n, \oplus, \odot,0)$ 的一组基，并给出了矩阵 $A\in {\mathcal E}_n$ 关于这组基的行分解和列分解。这一结构结果确定了一个固定离散赋值环上的所有 $n\times n$ 平铺序。我们还研究了 ${\mathcal E}_n$ 关于运算 $\oplus$ 和 $\odot$ 各自的自同构，并证明对于 $n>2$，有 ${\rm Aut}(\mathcal{E}_n,\, \odot ) = {\rm Aut}(\mathcal{E}_n,\, \oplus ) = {\rm Aut}(\mathcal{E}_n,\, \odot ,\oplus ,0) \simeq {\mathcal{S}}_n \times C_2$。