利用特征多项式的最大加矩阵 CSR 展开算法

最大加代数是一个半环，其加法为 $a\oplus b = \max(a,b)$，乘法为 $a\otimes b = a+b$。它应用于组合优化与离散事件系统等情形。我们考虑最大加方阵的幂，这等价于在相应加权有向图中获得固定长度的所有点对最大权路径。每个 $n\times n$ 矩阵都容许 CSR 展开，即在 $O(n^{2})$ 次幂之后将矩阵分解为至多 $n$ 个周期项之和。在本研究中，我们提出一种 $O(n(m+n \log n))$ 时间的 CSR 展开算法，其中 $m$ 为矩阵中非零元个数，该算法改进了已知的 $O(n^{4} \log n)$ 算法。我们的算法基于寻找最大加矩阵特征多项式的根。这些根起到类似于矩阵特征值的作用，并成为 CSR 展开中各项的增长率。