有限循环群指数集的结构

我们研究了$\Z_n$子集可能指数（等价地，$n$个顶点上的本原循环有向图的指数）集合的性质。令$E_n$表示该指数集。我们指出$E_n$包含不超过$\sqrt{n}$的正整数、“大”指数$\lfloor \frac{n}{3} \rfloor +1, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor, n-1$，以及对于偶数$n \ge 4$，还包含额外的值$\frac{n}{2}-1$。容易看出区间$[\frac{n}{2}+1,n-2]$内不可能存在指数，Wang和Meng已证明区间$[\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +2,\frac{n}{2}-2]$内也不可能存在指数。推广这一结果，我们证明区间$[\lfloor \frac{n}{4} \rfloor +3, \lfloor \frac{n}{3} \rfloor -2]$是指数集$E_n$中的另一个间隙。特别地，$11 \not\in E_{35}$，且对于所有$n \ge 57$，该间隙非空。我们提出了关于大$n$时$E_n$中进一步间隙的猜想。