循环群正交映射的乘法与指数变体

正交映射是 $\{1, \dots, n-1\}$ 上的一个置换 $\sigma$，使得 $x + \sigma(x) \mod n$ 也是 $\{1, \dots, n-1\}$ 上的置换。Eberhard、Manners、Mrazović 证明了此类正交映射的数目对于奇数 $n$ 为 $(\sqrt{e} + o(1)) \cdot \frac{n!^2}{n^n}$，否则为 0。本文证明了这两个结果的两种类比，其中 $x+\sigma(x)$ 被替换为 $x \sigma(x)$（“乘法正交映射”）或 $x^{\sigma(x)}$（“指数正交映射”）。具体而言，我们证明当 $n > 2$ 时不存在乘法正交映射，而每当 $n$ 为素数 $p$ 的两倍且 $p-1$ 无平方因子时，指数正交映射存在。在后一种情况下，我们进而估计了指数正交映射的数目。