循环2-群的斜态射计数

有限群$B$的一个斜态射是$B$的一个置换，它固定单位元并满足$\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi^{i_x}(y)$，其中$i_x$是由$x \in B$索引的某些整数。有限循环群的斜态射计数仍是一个悬而未决的问题。迄今为止最实质性的进展涉及奇素数$p$的循环$p$-群，Kovács和Nedela已对其进行了完整的分类与计数。本文我们处理剩余的$p = 2$情形，给出了有限循环2-群斜态射的完整分类与计数。记$\mathrm{Skew}(n)$为$\mathbb{Z}_n$的斜态射数目，我们证明对于每个$e \geq 4$，有$\mathrm{Skew}(2^e) = 4\,\mathrm{Skew}(2^{e-1}) - 4$，且对于每个$e \geq 3$，有$\mathrm{Skew}(2^e) = (7 \cdot 4^{e-2} + 8)/6$。这完成了所有循环$p$-群斜态射的计数。