循环群斜态射的商

有限群 $B$ 的斜态射是 $B$ 的一个置换 $\varphi$，它保持 $B$ 的单位元，并且对于每个 $a\in B$，存在一个正整数 $i_a$ 使得对所有 $b\in B$ 有 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi^{i_a}(b)$。对所有有限循环群的斜态射进行分类的问题出了名地困难，迄今为止尚无此类分类。$\mathbb{Z}_n$ 的每个斜态射 $\varphi$ 与 $\mathbb{Z}_{|\!\langle \varphi \rangle\!|}$ 的一个特定斜态射密切相关，后者称为 $\varphi$ 的商。在本文中，我们利用这种关系和其他观察结果证明了关于有限循环群斜态射的新定理。特别地，我们对阶为 $2^em$（其中 $e\in \{0,1,2,3,4\}$ 且 $m$ 为奇无平方因子数）的所有循环群的斜态射进行了分类。我们还开发了一种寻找循环群斜态射的算法，并在 MAGMA 中实现了该算法，以获取阶数不超过 $161$ 的循环群的所有斜态射的普查。在准备本文期间，我们注意到论文 Cyclic complements and skew morphisms of groups [J. Algebra 453 (2016), 68-100] 第 5 节中的一些缺陷。我们提出并证明了有问题的原始断言（即引理 5.3(b)、定理 5.6 和推论 5.7）的较弱版本，并展示了我们的修改可用于修复（上述论文中）使用至少一个有问题的断言的所有后续证明。