群环中的定向对合、对称与斜对称元素

设 $G$ 为带有对合 * 的群，$\sigma\colon G\to\{\pm1\}$ 为群同态。将群环 $RG$ 中的 $\alpha=\sum\alpha_gg$ 映射为 $\alpha^{\sharp}=\sum\sigma(g)\alpha_gg^*$ 的映射 $\sharp$ 是 $RG$ 的一个对合，称为\emph{定向群对合}。元素 $\alpha\in RG$ 如果满足 $\alpha^{\sharp}=\alpha$ 则是\emph{对称的}，如果满足 $\alpha^{\sharp}=-\alpha$ 则是\emph{斜对称的}。在 * 为 $G$ 上的逆映射和/或 $\sigma$ 恒为 1 的特殊情形下，对称元素与斜对称元素集合已受到大量关注，但在一般情形下并非如此。在本文中，我们确定了相对于一般定向对合分别对称和斜对称的元素集合构成 $RG$ 子环的条件。关于对称元素的工作是对先前工作的修正与纠正。