Abel 群斜群环的单性

给定群 G、(含幺)环 A 以及群同态 $\sigma : G \to \Aut(A)$，可以构造斜群环 $A \rtimes_{\sigma} G$。我们证明，Abel 群 G 的斜群环 $A \rtimes_{\sigma} G$ 是单的当且仅当其中心是一个域且 A 是 G-单的。若 G 是 Abel 群且 A 是交换环，则证明 $A \rtimes_{\sigma} G$ 是单的当且仅当 $\sigma$ 是单射且 A 是 G-单的。作为应用，我们证明变换群 (X,G)（其中 X 是紧 Hausdorff 空间，G 是 Abel 群）是极小且忠实的，当且仅当其关联的斜群代数 $C(X) \rtimes_{\sigma} G$ 是单的。我们还给出了一个（非 Abel 的）ICC 群的斜群代数示例，对于该示例上述结论不成立。