基于谢帕--福尔克曼定理的紧凑集和更紧致界限

设 $E_1,\dots,E_n \subset \mathbb{R}^d$ 为直径为正的紧凑集，其 Feng--Wu 厚度至少为 $c>0$。Feng 和 Wu 证明当 $n>2^{11}c^{-3}+1$ 时，$E_1+\cdots+E_n$ 内含非空内部。我们表明 $$n>\frac{\sqrt d}{(\sqrt{1+c}-1)^2}=\frac{\sqrt d\,(\sqrt{1+c}+1)^2}{c^2}$$ 即可足够。特别地，由于 $0<c\le 1$，因此足够的界限为 $n>6\sqrt d\,c^{-2}$。对于固定维数 $d$，此结果将 $c^{-1}$ 的指数从 3 降至 2，仅引入显式的 $\sqrt d$ 因子。该证明取代了 Feng--Wu 逐个增加求和项的做法，采用基于谢帕--福尔克曼定理形式的同时凸化步骤。