四变量 Roth 定理与稀疏集和中的加法结构

我们证明，如果集合$A \subseteq \{1,...,N\}$不包含方程$x+y+z=3w$的任何解（其中变量不全相等），则$A$的大小至多为$\exp(-c(\log N)^{1/7}) N$，其中$c > 0$为某个绝对常数。鉴于 Behrend 构造，该界限具有正确的形式：指数$1/7$不能被任何大于$1/2$的常数替换。我们还建立了一个相关结果，指出如果$A$是$\{1,...,N\}$的子集，则和集$A+A+A$包含长等差数列；或者如果$A$是有限域上向量空间的子集，则包含高维子空间，即使$A$具有上述形式的密度。