关于 ${\Bbb R}^d$ 中分形集的算术和

如果存在一个正整数 $n$ 使得 $E$ 的 $n$ 重算术和具有非空内部，则称紧集 $E\subset {\Bbb R}^d$ 是算术厚的。我们证明，如果 $E$ 是一致非平坦的，则其具有算术厚度，即存在 $\epsilon_0>0$ 使得对于 $x\in E$ 和 $0<r\leq {\rm diam}(E)$，$E\cap B(x,r)$ 永远不会与 ${\Bbb R}^d$ 中的超平面保持 $\epsilon_0r$-接近。此外，我们证明了几类分形集的算术厚度，包括 ${\Bbb R}^d$（其中 $d\geq 2$）中的自相似集、自共形集，以及不位于超平面上的 ${\Bbb R}^2$ 中的自仿射集，以及在特定假设下 ${\Bbb R}^d$（其中 $d\geq 3$）中的某些自仿射集。