数的算术邻域

设 K 为环，A 为 K 的子集。称映射 f:A \to K 为算术的，若其满足以下条件：若 $1 \in A$ 则 $f(1)=1$；若 $a,b \in A$ 且 $a+b \in A$ 则 $f(a+b)=f(a)+f(b)$；若 $a,b \in A$ 且 $a \cdot b \in A$ 则 $f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b)$。称元素 $r \in K$ 为算术固定的，若存在有限集 $A \subseteq K$（r 在 K 内的算术邻域）满足 $r \in A$，使得每个算术映射 $f:A \to K$ 都固定 r，即 $f(r)=r$。我们证明：对无穷多个整数 r，其在 Z 内的某个算术邻域同时也是其在 R 内的邻域，但不是其在 $Z[\sqrt{-1}]$ 内的邻域；对无穷多个整数 r，其在 Z 内的某个算术邻域不是其在 Q 内的邻域；若 $K=Q(\sqrt{5})$ 或 $K=Q(\sqrt{33})$，则对无穷多个有理数 r，其在 Q 内的某个算术邻域不是其在 K 内的邻域；对每个 $n \in (Z \cap [3,\infty)) \setminus \{2^2,2^3,2^4,\dots\}$，存在有限集 $J(n) \subseteq Q$，使得 $J(n)$ 是 n 在 R 内的算术邻域，但不是 n 在 C 内的算术邻域。