$k$-强连通有向图的极端问题

设 $\mathcal{D}$ 为一个有向图族。若有向图 $D$ 不包含任何成员作为子图，但对于补充图中任意弧 $e$，有向图 $D + e$ 包含某个成员作为子图，则称 $D$ 为 $\mathcal{D}$-饱和。饱和数 $\mathrm{sat}(n,\mathcal{D})$ 和极端数 $\mathrm{ex}(n,\mathcal{D})$ 分别是所有 $n$ 顶点 $\mathcal{D}$-饱和有向图中弧数的最小值和最大值。对于正整数 $k$，记 $\mathcal{D}_k$ 为 $k$-强连通有向图族。本文首先证明 $$\mathrm{sat}(n,\mathcal{D}_k)=(k-1)(2n-k)+\binom{n-k+1}{2}.$$ 然后对于 $n\geq 3(k-1)$，我们证明 $$\mathrm{ex}(n,\mathcal{D}_k)\leq \binom{n-k+1}{2}+\frac{17}{6}(k-1)(n-k+1).$$ 此外，我们推测对于足够大的 $n$， $$\mathrm{ex}(n,\mathcal{D}_k)=\binom{n}{2}+\frac{3}{2}(k-\frac{4}{3})(n-k+1).$$