外度至少为二的 $C_{\leq k}$-自由强有向图的最大边数

设 $\mathscr{H}$ 为有向图族。若有向图 $D$ 不包含 $\mathscr{H}$ 中任何成员的同构副本，则称 $D$ 为 \emph{$\mathscr{H}$-自由}。对 $k\geq2$，令 $C_{\leq k}=\{C_{2}, C_{3},\ldots,C_{k}\}$，其中 $C_{\ell}$ 为长度 $\ell\in\{2,3,\ldots,k\}$ 的有向圈。令 $D_{n}^{k}(\xi,\zeta)$ 表示具有 $n$ 个顶点、每个顶点外度至少为 $\xi$ 且内度至少为 $\zeta$ 的 \emph{${C}_{\le k}$-自由}强有向图族，其中 $\xi$ 与 $\zeta$ 均为正整数。令 $\varphi_{n}^{k}(\xi,\zeta)=\max\{|A(D)|:\;D\in D_{n}^{k}(\xi,\zeta)\}$ 且 $\Phi_{n}^{k}(\xi,\zeta)=\{D\in D_{n}^{k}(\xi,\zeta): |A(D)|=\varphi_{n}^{k}(\xi,\zeta)\}$。Bermond 等人（1980）验证了 $\varphi_{n}^{k}(1,1)=\binom{n-k+2}{2}+k-2$。Chen 与 Chang（2021）证明了 $\binom{n-1}{2}-2\leq\varphi_{n}^{3}(2,1)\leq\binom{n-1}{2}$。该上界被 Chen 与 Chang（DAM, 2022）进一步改进为 $\binom{n-1}{2}-1$，此外，他们还给出了 $n\in \{7,8,9\}$ 时 $\varphi_{n}^{3}(2,1)$ 的精确值。本文继续确定 $n\ge 10$ 时 $\varphi_{n}^{3}(2,1)$ 的精确值，即对于 $n\geq10$ 有 $\varphi_{n}^{3}(2,1)=\binom{n-1}{2}-2$。