低维单形的马蒂拉-斯约林定理

在本文中，我们证明若紧集 $E \subset \mathbb{R}^d$，$d \geq 3$，当 $3 \leq d<\frac{k(k+3)}{(k-1)}$ 时其豪斯多夫维数大于 $\frac{(4k-1)}{4k}d+\frac{1}{4}$，或当 $\frac{k(k+3)}{(k-1)} \leq d$ 时大于 $d- \frac{1}{k-1}$，则以 $E$ 中顶点构成的单形合同类集合具有非空内部。所谓以 $E$ 中顶点构成的单形合同类集合，我们是指 $$\Delta_{k}(E) = \left \{ \vec{t} = (t_{ij}) : |x_i-x_j|=t_{ij} ; \ x_i,x_j \in E ; \ 0\leq i < j \leq k \right \} \subset \mathbb{R}^{\frac{k(k+1)}{2}}$$ 其中 $2 \leq k <d$。该结果改进了我们先前的工作，在于我们现在可以获得一个豪斯多夫维数阈值，使得当 $d=3$ 时能保证由 $E$ 中三点构成的三角形合同类集合具有非空内部，并推广到所有单形。本工作可视为马蒂拉-斯约林定理的推广，该定理为距离集而非单形合同类集合确立了非空内部。