具有给定度的极大维格单形

Nill 证明了，对于任何维数为 $d$、度为 $s$ 且不是格金字塔的格单形，不等式 $d+1 \leq 4s-1$ 成立。在本文中，我们给出满足等式的格单形的完整刻画，即维数为 $(4s-2)$、度为 $s$ 且不是格金字塔的格单形。结果表明，此类单形源于二元单形码。作为该刻画的一个应用，我们证明此类单形是被称为“Cayley 猜想”的反例。此外，通过对 Nill 不等式稍作修改，我们还得到更紧的界 $d+1 \leq f(2s)$，其中对于 $M \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，$f(M)=\sum_{n=0}^{\lfloor \log_2 M \rfloor} \lfloor M/2^n \rfloor$。我们还注意到，任何达到此更紧界的格单形总源于二元码。