宽度大于二的空晶格 $4$-单形分类

晶格 $d$-单形是 ${\mathbb R}^d$ 中 $d+1$ 个仿射独立整数点的凸包。若除其 $d+1$ 个顶点外不含格点，则称其为空的。空 $3$-单形的分类自1964年（White）已知，基于它们宽度均为一的事实。但对于维度 $4$ 尚无完整分类。Haase 与 Ziegler（2000）枚举了行列式不超过 1000 的所有空 $4$-单形，并基于其结果猜想行列式 179 之后所有空 $4$-单形宽度为一或二。我们证明该猜想如下： - 我们通过结合近期空心 3-多面体分类（Averkov、Kr"umpelmann 与 Weltge，2017）与数几何的一般方法，证明宽度三或以上的空 $4$-单形行列式不能大于 5058。 - 我们将 Haase 与 Ziegler 的计算继续至行列式 7600，发现未出现宽度大于二的新 $4$-单形。特别地，我们给出宽度大于二的空 $4$-单形完整列表，与 Haase 和 Ziegler 计算的一致：存在一个宽度四的空 $4$-单形（行列式 101），以及 178 个宽度三的空 $4$-单形，行列式范围从 41 到 179。